Soal:
Sebuah PT. Sayang Anak memproduksi
mainan yaitu boneka dan kereta api. Harga boneka adalah Rp 27.000,00 /lusin
sedangkan harga kereta api Rp 21.000,00 /lusin.
Adapun biaya pembuatan, memiliki
rincian sebagai berikut:
Kereta api ->material: Rp 10.000,00;
pekerja: Rp 9.000,00
Boneka -> material: Rp 14.000,00;
pekerja: Rp 10.000,00
Waktu yang tersedia adalah 100 jam
untuk pemolesan, dan 80 jam untuk tukang kayu. Pembuatan boneka membutuhkan
waktu 2 jam pemolesan dan 1 jam tukang kayu, sedangkan pembuatan kereta api
membutuhkan waktu 1 jam pemolesan dan 1 jam tukang kayu.
Produksi boneka maksimum adalah 40
lusin, dan produksi tukang kayu tidak dibatasi.
Pertanyaan:
a. Bagaimana model matematisnya?
b. Berapa lusin boneka dan kereta
api, agar produksi maksimum dan keuntukan maksimum?
Jawab:
a. Dimisalkan: z=keuntungan
maksimum, x=semua parameter untuk boneka, y=semua parameter untuk kereta api.
Karena dibutuhkan hasil yang dimaksimalkan, maka:
-
Untuk harga /lusin mainan: 27x+21y
-
Untuk material dan pekerja boneka: 14x+10y
-
Untuk material dan pekerja kereta api: 10x+9y
Jadi,
z=(27x+21y)-(10x+9y)-(14x+10y)
z=3x+2y
z=3x+2y
dengan pembatas:
- Waktu pemolesan dan tukang kayu:
2x+y<=100
x+y<=80
x+y<=80
- Batasan produksi makimum boneka:
x<=40
- Batasan produksi minimum:
x>=0
y>=0
y>=0
b. Berikut adalah grafik yang
terbentuk berdasarkan pembatas di poin a:
-
Daerah yang diarsir adalah di dalam garis x<=40, x>=0, dan y>=0
-
Titik (20,60) diperoleh dari:
2x+y <= 100
X+y <= 80
Jadi x<=20 dan y<=60
Untuk mendapatkan hasil yang
maksimum dapat ditentukan dari table dibawah ini:
X
|
Y
|
Z=3x+2y
|
Keterangan
|
0
|
100
|
200
|
Dari persamaan 2x+y<=100
|
50
|
0
|
150
|
Dari persamaan 2x+y<=100, tidak
memumngkinkan, karena x>40
|
0
|
80
|
160
|
Dari persamaan x+y<=80
|
80
|
0
|
240
|
Dari persamaan x+y<=80, tidak
memungkinkan, karena x>40
|
20
|
60
|
180
|
Dari hasil eliminasi persamaan
2x+y<=100 dan persamaan x+y<=80
|
40
|
12,5
|
145
|
Dari persamaan x<=40
|
40
|
40
|
200
|
Dari persamaan x<=40
|
Dari table di atas dapat
disimpulakan, untuk hasil yang maksimum diambil titik x,y (0,100) atau x,y
(40,40). Untuk mengetahui keuntungan maksimum nilai x dan y dimasukkan ke
persamaan z=27x+21y dengan z=24x+19y untuk biaya produksi yang dikeluarkan,
sebagai berikut:
-
Untuk (0,100)-> z=27(0)+21(100), z=2100
Biaya produksi:
z=24(x)+19(100),z=1900
Keuntungan: 200
-
Untuk (40,40)-> z=27(40)+21(40), z=1920
Biaya produksi: z=24(40)+19(40),
z=1720
Keuntungan: 200
Kesimpulan:
Untuk keuntungan dan hasil yang
maksimum dapat:
-
Diproduksi 0 lusin boneka dan 100 lusin kereta api dengan harga
jual Rp 2.100.000,00, biaya produksi Rp 1.900.000,00, dan keuntungan
Rp 200.000,00, atau
-
Diproduksi 40 lusin boneka dan 40 lusin kereta api dengan harga
jual Rp 1.920.000,00, biaya produksi Rp 1.720.000,00, dan keuntungan
Rp 200.000,00.